☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé

Dans un repère de l'espace, soit \(d\) la droite passant par les points  \(\text A(2~;~4~;~6)\)  et  \(\text B(0~;-3~;~3)\) .

1. Donner une représentation paramétrique de \(d\) .
2. En déduire les points d'intersection de la droite  \(d\)  avec les plans  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\) , \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)\) et \(\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Solution
1. La droite \(d\) passe par     \(\text B(0~;-3~;~3)\) et est dirigée par  \(\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix} -2\\-7\\-3\\ \end{pmatrix}\) .
Alors une représentation paramétrique de \(d\) est :  \(\begin{cases} x = -2t \\ y = -3-7t \\ z = 3-3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

2. Un point du plan   \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\)  a pour coordonnées  \((x~;~y~;~0)\) .
On résout donc  \(z=0 \Leftrightarrow 3-3t=0 \Leftrightarrow t=1\) .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  \((-2~;-10~;~0)\) .

Un point du plan   \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)\)   a pour coordonnées  \((x~;~0~;~z)\) .
On résout donc  \(y=0 \Leftrightarrow -3-7t=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac37\) .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  \(\left(\dfrac67~;~0~;~\dfrac{30}{7}\right)\) .

Un point du plan   \(\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)   a pour coordonnées  \((0~;~y~;~z)\) .
On résout donc  \(x=0 \Leftrightarrow -2t=0 \Leftrightarrow t=0\) .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  \(\left(0~;-3~;~3\right)\) . C'est le point \(\text B\) .