☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé

Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par les points  $\text{A}(2;4;6)$  et  $\text{B}(0;-3;3)$ .

1. Donner une représentation paramétrique de $d$ .
2. En déduire les points d'intersection de la droite  $d$  avec les plans  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$ et $(\text{O};\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

Solution
1. La droite $d$ passe par     $\text{B}(0;-3;3)$ et est dirigée par  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -3\end{array}\right)$ .
Alors une représentation paramétrique de $d$ est :  $\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-3-7t\\ z=3-3t\end{array},t\in \mathbb{R}$ .

2. Un point du plan   $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$  a pour coordonnées  $(x;y;0)$ .
On résout donc  $z=0\iff 3-3t=0\iff t=1$ .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  $(-2;-10;0)$ .

Un point du plan   $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$   a pour coordonnées  $(x;0;z)$ .
On résout donc  $y=0\iff -3-7t=0\iff t=-{\displaystyle \frac{3}{7}}$ .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  $({\displaystyle \frac{6}{7}};0;{\displaystyle \frac{30}{7}})$ .

Un point du plan   $(\text{O};\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$   a pour coordonnées  $(0;y;z)$ .
On résout donc  $x=0\iff -2t=0\iff t=0$ .
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées  $(0;-3;3)$ . C'est le point $\text{B}$ .